Парадокс Зенона.

Апории Зенона.

Апория — это вымышленная, логически верная ситуация, которая не может существовать в реальности. Апоретическое суждение фиксирует несоответствие эмпирического факта и описывающей его теории. Апории известны со времён Сократа. Наибольшую известность получили апории Зенона из Элеи.

Парадокс - странное мнение, высказывание, расходящееся с общепринятыми мнениями, научными положениями, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу.

Проблема – как, в конечном счете, устроены геометрические объекты, из чего они «состоят» – была важной проблемой для греческой философии. Эта проблема привлекла внимание и Зенона – представителя Элейской философской школы. Элейская школа выступала с парадоксальным учением, что существует только единое и неподвижное и неизменное бытие, повсюду одинаковое: хотя людям кажется, что бытие множественно и подвержено переменам, это мнение ведет к противоречиям и поэтому должно быть отброшено.

Наиболее известными и важными для математики стали сформулированные Зеноном четыре апории (т.  е.  парадокса), направленных против существования движения. По-видимому, первые две апории Зенона подразумевали, что пространство и время делимы до бесконечности, а другие две основывались на противоположном представлении, будто пространственная протяженность и временная длительность состоят из неделимых моментов. Зенон пытался показать, что каждое из двух противоположных воззрений в результате ведет к противоречию, а значит, должна быть отвергнута сама идея движения, которое представляет собой лишь иллюзию.

Деление пополам.

Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что оно сначала должно дойти до середины пути, потом до середины оставшегося пути, потом опять до середины остатка и т.  д. – таким образом, прежде чем дойти до конца пути, тело должно пройти бесконечное множество середин, а это потребует бесконечного времени.

Ахиллес и черепаха.

Быстроногий Ахиллес никогда не сможет догнать медлительной черепахи, если в начале движения она находится на некотором расстоянии впереди Ахиллеса: пока Ахиллес достигнет черты, с которой стартовала черепаха, она сама проползет на некоторое расстояние, пусть и меньшее; пока Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха продвинется еще дальше, и  т.  д.

Стрела.

В каждый момент времени летящая стрела занимает равное самой себе пространство. Следовательно, она в течение некоторого времени покоится. Таким образом, она и вовсе не движется.

Стадион

По стадиону мимо группы равных тел А1, А2, А3, А4 движутся в противоположные стороны с одинаковыми скоростями еще две такие же группы – В1, В2, В3, В4 и Г1, Г2, Г3, Г4. Раз они движутся с равной скоростью, то в равное время пройдут равное расстояние. Если за некоторое время первое из тел В пройдет мимо всех Г, то за это же время первое из тел Г пройдет мимо половины тел А, а значит, оно пройдет лишь половину того расстояния, который прошло тело В, а значит – так как В и Г движутся с равными скоростями – оно прошло и половину того времени, за которое тело В прошло все тела Г. С другой стороны, за одно и то же время первое из тел Г пройдет мимо всех В, а первое из В пройдет лишь половину тел А, и значит, в два раза меньшее расстояние, затратив в два раза меньшее время, чем тело Г, прошедшее все тела В. Получается, что одно и то же время и вдвое длиннее, и вдвое короче, чем оно же само.

Хотя большинство философов не могли принять странные выводы Зенона о несуществовании движения, поставленные Зеноном проблемы заставили более пристально вглядываться в понятия, связанные с пространством и временем. Так, Аристотель полагал, что пространство и время не состоят из некоторого числа отдельных точек и моментов, но представляют собой особый тип сущего – нечто непрерывное, или, как еще говорят, континуум (лат. continuum – непрерывное). Пространственные и временные отрезки в действительности делимы до бесконечности, но делимы лишь потенциально, в том смысле, что любой отрезок можно разделить некоторой точкой, то, что осталось, тоже можно разделить, и т.  д., но невозможно в какой-то момент реализовать бесконечное количество делений, – точно так же, как всякий раз возможно продлить имеющийся отрезок на некоторую величину, но нельзя считать бесконечное число таких продлений уже реализованным. Невозможно иметь в наличии бесконечную прямую, и нельзя сказать, что на отрезке уже находится бесконечное количество точек. Вот если бы в первой апории идущий человек каждый раз, проходя середину очередного отрезка, останавливался бы, отмечая эту середину, – тогда его движение не было бы непрерывным и он никогда бы не смог пройти весь отрезок. Решение Аристотеля было принято многими математиками: с подобными соображениями связано и разграничение Евклида между прерывными числами, с одной стороны, и непрерывными величинами, с другой стороны. Тем не менее, на этом рассмотрение бесконечности в математике не закончилось: так, уже в XIX в. Г.  Кантор развил теорию множеств, позволявшую рассматривать отрезок как бесконечное множество точек. Такое рассмотрение позволило открыть новые ценные результаты, а также поставить новые интересные проблемы, связанные, в частности, с некоторыми противоречиями, содержащимися в теории бесконечных множеств.

Кроме того, апории Зенона связаны и с рядом других вопросов, касающихся математики (суммирование бесконечного числа слагаемых, относительность движения, соотношение математической теории и физической реальности и т.  д.).

Комментарии: