Математик сложил число 33 из тройки кубов

Эндрю Букер, математик из Университета Бристоля, нашел решение диофантова уравнения x³+y³+z³ = k для k = 33. Гипотеза о том, что любое натуральное число, которое при делении на девять не дает остаток 4 или 5, можно представить в виде суммы кубов трех целых чисел была сформулирована несколько десятилетий назад. Начиная с 1954 года ученым удалось найти тройки кубов для всех таких чисел меньших ста, кроме двух: 33 и 42. Решение для k=33 укрепляет эту гипотезу. Препринт статьи опубликован на сайте arxiv.org, кратко о нем сообщает Quanta Magazine.

Уравнения в целых числах, или диофантовы уравнения – особый способ исследовать целые числа и их свойства. Пожалуй, самым известным примером таких уравнений является Великая теорема Ферма: xⁿ+yⁿ = zⁿ для n>2. Кроме развития теории чисел поиск решений диофантовых уравнений приводит к развитию новых методов в математике, которые потом находят применение и в повседневной жизни. Например, эллиптические кривые, позволившие в конечном итоге доказать теорему Ферма, активно применяются в современной криптографии, на них даже основан один из российских ГОСТов.

С самыми простыми примерами диофантовых уравнений мы встречаемся, когда пытаемся расплатиться за покупки без сдачи – к примеру, имея монеты в 2 и 5 рублей можно набрать 19 рублей всего двумя способами – взяв две монеты по два рубля и три по пять рублей или семь монет по два рубля и одну по пять рублей. А фактически мы решаем в натуральных числах уравнение 19 = 2x + 5y.

Представление натуральных чисел в виде суммы кубов целых чисел – гораздо более сложная и интересная задача из области диофантовых уравнений. Очень необычным кажется тот факт, что для многих чисел, например, k = 29, решения уравнения выглядят тривиально: x³+y³+z³ = 29 имеет решение при x=3, y=z=1. Но уже для k=30 решение достигается лишь при x = 3 982 933 876 681, y = ­-636 600 549 515 и z = -3 977 505 554 546, а для k=31 и 32 решения и вовсе нет, как и для всех k дающих в остатке 4 или 5 при делении на 9. Это связано с тем, что кубы целых чисел могут давать в остатке при делении на 9 только 0, 1 и 8. Для уравнения x³+y³+z³ = 33 решений не было известно вплоть до значений x, y и z меньших 100 триллионов.

Эндрю Букер вдохновился роликом блогера Numberphile, и попытался решить задачу о числе 33. Для этого математик разработал алгоритм, который позволяет очень эффективно перебирать значения переменных. В его основе лежит тот факт, что если перенести один из кубов в левую часть уравнения, то обе части будут обязаны делиться на (x+y):

x³+y³+z³ = 33

x³+y³ = 33 - z³

(x + y)(x² – xy + y²) = 33 - z³

Таким образом, можно перебирать только определенные делители для каждого z. В результате 23 процессоро-лет вычислений (около месяца реальной работы суперкомпьютера) Эндрю Букеру удалось найти решение для k = 33. Оно выглядит так:

33 = 8 866 128 975 287 528³ + (?8 778 405 442 862 239)³ + (?2 736 111 468 807 040)³

Интересно, что для k = 42 решения с x,y,z меньшими 10 триллионов найти так и не удалось. Среди других k<1000, для которых решение еще не найдено остались лишь числа 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975. Также нет новых решений для k = 3, помимо тривиальных. Тем не менее существует гипотеза о том, что для каждого подходящего k есть бесконечное количество наборов x, y, z.

Ранее мы рассказывали о доказательстве Великой теоремы Ферма - десять интересных и поучительных историй о ней можно прочесть в материале «Кому поля не жмут»

Владимир Королёв

Источник: nplus1.ru

Комментарии: