Пахомов Ф.Н. О границах применимости второй теоремы Гёделя о неполноте

Появилась запись 2 докладов Ф.Н.Пахомова на заседании семинара "Современные проблемы математической логики" по теме "О границах применимости второй теоремы Гёделя о неполноте" (от 25.01.19 и 01.02.19).

Аннотация: Часто вторую теорему Гёделя о неполноте формулируют в узкой форме, как утверждение о том, что какая-то конкретная формальная теория (например PA или ZFC) не может доказать собственную непротиворечивость.

Тем не менее, даже формулировка данная самим Гёделем в его статье 1931 года имела большую общность и покрывала все непротиворечивые расширения его базисной системы P примитивно-рекурсивными множествами аксиом. В настоящем докладе я сделаю обзор результатов отвечающих на вопрос о том, на какие теории можно обобщить вторую теорему Гёделя о неполноте. Нестрогая мотивирующая формулировка второй теоремы о неполноте говорит, что никакая достаточно сильная непротиворечивая теория не может доказать собственную непротиворечивость. Для того, чтобы сделать такую формулировку строгим математическим утверждением во-первых нужно описать класс теорий которые будут считаться достаточно сильными. Но кроме того, как оказывается, в отличие от таких сильных теорий как PA и ZFC для слабых теорий гораздо острее встает вопрос о том, какие формулы языка теории следует считать формализациями утверждениями о непротиворечивости. Я расскажу о нескольких различных подходов к тому, как именно производить такие уточнения. Кроме того, я расскажу, о примерах теорий, которые могут доказать собственную непротиворечивость и тем самым ограничивают то, насколько вторая теорема Гёделя может быть обобщена.

Комментарии: