Формула Пика

Формула Пика изящна своей простотой и примечательна тем, что её можно легко проверить при помощи карандаша и листа бумаги в клетку. Нарисуем простой многоугольник на равномерно разлинованном листе, так чтобы все вершины (углы) многоугольника приходились на узловые точки сетки.

Теорема Пика гласит, что площадь S такого многоугольника в квадратных единицах можно определить, сосчитав число В точек, лежащих внутри многоугольника, и число Г точек, расположенных на границе многоугольника:

S = В + Г/2 – 1.

Теорема Пика неприменима к многоугольникам с отверстиями внутри.

Георг Александр Пик (1859–1942), австрийский математик, опубликовал эту теорему в 1899 году. В 1911 году Пик ознакомил Эйнштейна с ключевыми работами важнейших математиков, что помогло Эйнштейну развить и проработать его общую теорию относительности. Когда в 1938 году отряды гитлеровских войск заняли Австрию, Пик, будучи евреем, бежал в Прагу. К сожалению, этого оказалось недостаточно для спасения его жизни. Нацисты захватили Чехословакию и в 1942 году отправили Пика в концентрационный лагерь Терезиенштадт, где он и умер. Из примерно 144000 евреев, содержавшихся в Терезиенштадте, около четверти умерло там же, а ещё 60% было переправлено в Аушвиц и другие лагеря смерти.

Математики впоследствии обнаружили, что не существует прямого трёхмерного аналога теоремы Пика, который бы позволял вычислять объем политопа (например, многогранника) через подсчёт заключенных внутри него и приходящихся на его границы точек трёхмерной сетки.

Используя теорему Пика и разлинованную кальку, можно приближённо вычислять площади различных областей на картах — для этого требуемую область достаточно аппроксимировать многоугольником с вершинами в узлах сетки. Английский научно-популярный автор Дэвид Дарлинг пишет: «За последние несколько десятилетий... выведено множество обобщений теоремы Пика, относящихся к более обобщённым многоугольникам, многогранникам большей размерности и сеткам, отличным от квадратных... Эта теорема служит связующим звеном между традиционной евклидовой геометрией и современным предметом дискретной геометрии».

Источник: К. Пиковер. Великая математика. Москва: БИНОМ, 2015

Источник: ru.wikipedia.org

Комментарии: